Trilogia - Um Sonho Complexo

       Os vídeos fazem parte de uma trilogia, sobre números complexos, eles mostram uma maneira divertida e curiosa de olhar para os números complexos. 

      O primeiro usa a dualidade do personagem do livro Médico e o Monstro.

      O segundo e o terceiro usam Morfeu, o deus dos sonhos.

      Todos eles tratam da história dos números complexos e de algumas de suas propriedades.

 

      FICHA TÉCNICA

      Autor: Otília W. Paques
      Revisão: Samuel Rocha de Oliveira

      Coordenação de Mídias Audiovisuais: Prof. Dr. Eduardo Paiva
      Coordenador acadêmico: Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira

 

  VÍDEO 1 - UM SONHO COMPLEXO

 

      Sinopse: O Jovem Hans se depara com as palavras complexo e imaginário e fica muito incomodado pois para ele , matemática deveria ser real, concreta e exata. Resolve dormir e sonha com um personagem estranho, que tem meia barba, usa bermudas e fraque e é uma mistura dos dois personagens do livro O Médico e o monstro qual representa uma dualidade do mundo. Ao acordar entende que o sonho mostrou um pouco da magia dos números complexos.

    Conteúdos: História dos números complexos, suas formas e propriedades algébricas,  trigonométricas e geométricas.

      Duração: Aprox. 12 minutos.
      Objetivos:
      1. Apresentar os números complexos, sua parte real e sua parte imaginária; 
      2. Mostrar algumas relações dos números complexos com a trigonometria;
      3. Mostrar a representação dos números complexos no plano.

  

Fonte: http://www.youtube.com/watch?v=6KTwK0aTwr0
      

 VÍDEO 2 - O SONHO NÃO ACABOU

 

      Sinopse: Este é o segundo vídeo sobre os números complexos com o mesmo personagem Hans, Um jovem estudante. Hans vai dormir e sonha com outro jovem, agora é o Morfeu, o deus dos sonhos. Morfeu explica direitinho ao jovem sobre a história dos números complexos, chegando à fórmula de De Moivre.
      Conteúdos: Números complexos e sua história. Fórmula de De Moivre. Adição e multiplicação de números complexos.
      Duração: Aprox. 10 minutos.
      Objetivos:
      1. Apresentar uma breve história dos números complexos. 
      2. Apresentar a fórmula de De Moivre, para potências inteiras de números complexos. 
      3. Mostrar as raízes n-ésimas de números complexos.
  

 

Fonte: http://www.youtube.com/watch?v=JlOiio5UZ0w

  

VÍDEO 3 - O SONHO CONTINUA

      Sinopse: Este é o terceiro vídeo da série sobre os números complexos. Hans, o jovem estudante sonha novamente com Morfeu, que lhe conta sobre a fórmula de Euler e sobre os conjuntos numéricos.
      Conteúdos: História dos números complexos, suas formas e propriedades algébricas, trigonométricas e geométricas. Fórmula de Euler. Conjuntos numéricos.
      Duração: Aprox. 11 minutos.
      Objetivos:
      1. Apresentar o número complexo.
      2. Mostrar a fórmula trigonométrica de Euler.
      3. Mostrar os principais conjuntos numéricos.

  

 

Fonte: http://www.youtube.com/watch?v=3GohuvXDlk8 

 

      SUGESTÕES DE LEITURA

 

      1. Elon Lages Lima, Paulo Cesar P. Carvalho, Eduardo Wagner, Augusto C. Morgado - A Matemática do ensino médio– volume 3 SBM. 

      2. William P. Berlongoff e Fernando Q. Gouvea- A Matemática através dos tempos. Editora Blucher – 2004. 

      3. Howard Eves- Introdução à História da Matemática– Editora da Unicamp.

 

 

Vídeo Aulas

      Entre todos os meios de comunicação existentes a internet é a principal, pois possibilita acesso sem restrições e favorece a dispersão de notícias em curto espaço de tempo. 
      Vídeo-aulas já se disseminaram no ambiente virtual e Aula virtual é a grande tendência dos próximos anos, nessa modalidade o aluno pode ter aulas no momento favorável ao seu horário ou em tempo real que possibilita o confronto entre professor e aluno. 
       A facilidade desse tipo de método de ensino é de oferecer condições ao aluno frequentar o curso desejado, e de tirar dúvidas sem ter o professor presente.

       Segue  uma vídeo-aula que foi ministrado no Programa de Aperfeiçoamento para Professores de Matemática do Ensino Médio (PAPMEM) 2011.

 

    
 Fonte: http://www.youtube.com/watch?v=9x-jpYiOThA

 

      A qualidade do vídeo é ótima e o professor descontraído e animado, o que ajuda a chamar a atenção dos estudantes. Como ele fala no vídeo a aula que deve ser ministrada é de apenas 1h, logo deve-se focar em um objetivo. 

      O professor escolhe focar em algumas propriedades dos números complexos e apresenta um ótimo exemplo em como aplicar os números complexos no cotidiano, expondo o problema do tesouro escondido, utilizando também o software GeoGebra. 

Resolução de Problemas/Modelagem

      Muitas pessoas questionam sobre o papel da matemática na formação de nossos alunos, qual o professor que nunca ouviu aquela velha pergunta que os alunos sempre fazem: “pra que serve esta matéria que eu estou aprendendo?”
      Talvez uma resposta para esta questão possa ser a Modelagem Matemática, pois ela tem como objetivo interpretar e compreender os mais diversos fenômenos do nosso cotidiano, devido ao “poder” que a Modelagem proporciona pelas aplicações dos conceitos matemáticos.

EXEMPLO CLÁSSICO

 

 

(CARNEIRO, 2001, p. 3 - Dois piratas decidem enterrar um tesouro em uma ilha. Escolhem, como pontos de referência, uma árvore e duas pedras. Começando na árvore, medem o número de passos até a primeira pedra. Em seguida, dobram, segundo ângulo de 90°, à direita e caminham o mesmo número de passos até alcançar um ponto, onde fazem uma marca. Voltam à árvore, medem o número de passos desde a árvore até a segunda pedra, dobram à esquerda, segundo um ângulo de 90º, e caminham o mesmo número de passos até alcançar um ponto, onde fazem outra marca. Finalmente, enterram o tesouro exatamente no ponto médio, entre as duas marcas. Anos mais tarde, os dois piratas voltam à ilha e decidem desenterrar o tesouro, mas, para sua decepção, constatam que a árvore não existe mais. Então um dos piratas decide arriscar. Escolhe ao acaso um ponto da ilha e diz: "Vamos imaginar que a árvore estivesse aqui." Repete então os mesmos procedimentos de 71quando havia enterrado o tesouro: conta os passos até a primeira pedra, dobra à direita, etc., e encontra o tesouro.

 

A resolução pode ser vista no link: http://www.rpm.org.br/conheca/47/1/ilha.htm

 

Jogos no Ensino

       A atividade com os jogos matemáticos são importantes para os professores, pois eles poderão trabalhar de forma diferenciada os conteúdos matemáticos que são estudados em sala de aula.

      Também são de suma importância para os alunos, pois os jogos permitem que eles repensem tudo que foi ensinado e coloquem em prática tudo que foi aprendido ou, caso não tenha sido bem aprendido, o jogo também permite que eles refaçam suas próprias teorias sobre o conteúdo proposto e possam construir novos conhecimentos.

      Abaixo, algumas sugestões de atividades com jogos.

 

 

BINGO DOS COMPLEXOS

      As regras da atividade seguem como no jogo tradicional.

 

 

Fonte:http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=19765

 

       Com este jogo o professor pode Avaliar a compreensão dos alunos em relação às operações de multiplicação de números complexos. O jogo é interessante por ser uma adaptação de um jogo conhecido.

FLASH COMPLEXO

      O Flash Complexos é um teste com perguntas relacionadas as propriedades dos números complexos. São apresentadas perguntas, seguidas de alternativas às soluções. O aluno é convidado a escolher a opção que melhor satisfaz ao questionamento, em um determinado espaço de tempo, em seguida é verificado o resultado correto. Tal atividade chama a atenção dos alunos pelo fato de envolver computador, o que eles adoram.

 

Fonte:http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=19765

 

REFERÊNCIAS

BATISTA, J. B.; LOPES, M.; OLIVEIRA, O.D.C. Jogando com os Números Complexos. Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=2637>. Acesso em 12 ago. 2013.

BORNATTO, G. Complexos. Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=19765>. Acesso em 12 ago. 2013.

MORAIS, A. D.; SOUZA, C. F. Utilizando Jogos No Ensino-Aprendizagem Da Matemática: Os Cartões Complexos. Anais do III Encontro Regional de Educação Matemática. Acesso em 12 ago. 2013.

Mapa Conceitual

       Mapas Conceituais são representações gráficas semelhantes a diagramas, que indicam relações entre conceitos ligados por palavras. Representam uma estrutura que vai desde os conceitos mais abrangentes até os menos inclusivos. São utilizados para auxiliar a ordenação e a sequencia hierarquizada dos conteúdos de ensino, de forma a oferecer estímulos adequados ao aluno.

      Mapas conceituais podem ser utilizados como:

• Estratégia de estudo;
• Estratégia de apresentação de itens curriculares;
• Instrumento para a avaliação de aprendizagem escolar;
• Pesquisas educacionais.

      Para os professores, os mapas conceituais podem constituir-se em poderosos auxiliares nas suas tarefas rotineiras, tais como:

• Tornar claro os conceitos difíceis, arranjados em uma ordem sistemática;
• Auxiliar os professores a manterem-se mais atentos aos conceitos chaves e às relações entre eles;
• Auxiliar os professores a transferir uma imagem geral e clara dos tópicos e suas relações para seus estudantes;
• Reforçar a compreensão e aprendizagem por parte dos alunos;
• Permitir a visualização dos conceitos chave e resumir suas inter-relações;
• Verificar a aprendizagem e identificar conceitos mal compreendidos pelos alunos;
• Auxiliar os professores na avaliação do processo de ensino;
• Possibilitar aos professores avaliar o alcance dos objetivos pelos alunos através da identificação dos conceitos mal entendidos e dos que estão faltando.

Fonte: http://penta2.ufrgs.br/edutools/mapasconceituais/utilizamapasconceituais.html

Imagens no Ensino de Números Complexos

 

INSPIRAÇÕES LÚDICAS

 

      Pelo fato dos quadrinhos/animes estarem presentes na vida dos estudantes. Na atualidade existem discussões em todo mundo no objetivo de procurar adequar o trabalho escolar a essa nova realidade.

 

 

Fonte:http://geometrizandomat.blogspot.com.br/2012/12/curiosidades-sobre-numeros-complexos.html

 

 

      Recursos didáticos como tem um papel importante no processo de ensino e aprendizagem. Contudo, eles precisam estar integrados a situações que levem ao exercício da análise e da reflexão, em última instância, a base da atividade matemática.

 

 

Fonte:http://geometrizandomat.blogspot.com.br/2012/12/curiosidades-sobre-numeros-complexos.html

 

      O desenvolvimento lúdico facilita a aprendizagem, o desenvolvimento pessoal, social e cultural, colabora para que o indivíduo desenvolva uma boa saúde mental, preparando-se para um estado interior abundante, facilitando os processos sociais, comunicativos, expressivos e construtivos no âmbito do conhecimento.

 

 

Fonte:http://geometrizandomat.blogspot.com.br/2012/12/curiosidades-sobre-numeros-complexos.html

 

      A representação geométrica permitiu que os complexos fossem visualizados, por conseguinte, aceitos como números. Foi a necessidade, imposta pelo método de Cardano, de se trabalhar com os números complexos antes de compreendê-los como números, que determinou o uso das raízes de números negativos antes dos negativos serem aceitos como números.

 

 

  

Fonte: http://www.profezequias.net/complexo.html

 

 

Análise de Livros Didáticos

LIVROS ANALISADOS



 

TABELA

 

 

Fonte: Araújo, Nanci B.F. “Números Complexos: Uma proposta de Mudança Metodológica para uma Aprendizagem Significativa no Ensino Médio” . Natal, 2006

      Observo que é preciso uma mudança metodológica para que se tenha uma aprendizagem eficaz, que apresente aplicações dos Números Complexos em problemas vistos no cotidiano e aplicações em outras áreas do conhecimento. Nesse sentido, entendo que os Complexos devem ser vistos não apenas como sendo necessidade ao se resolver equações do 2º grau e 3º grau, mas também como uma ferramenta necessária para se resolver outras questões presentes no cotidiano.

Glossário de Números Complexos

LETRA A

ADIÇÃO -　Uma das quatro operações básicas da aritmética, utilizada para adicionar um número a outro.

ALFA (α) -　Primeira letra do alfabeto grego.

ALGARISMO　- Símbolos utilizados para representação de números. Em nosso sistema de numeração de base 10, existem dez algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

APROXIMAÇÃO -　Valor obtido por arredondamento de uma medida. Exemplo: Se arredondarmos o número 6,851 teríamos 6,85.

ARGUMENTO - Ângulo formado pelo vetor que representa um número complexo e o semieixo positivo das abscissas.

LETRA C

CALCULAR -　Realizar uma operação, como por exemplo, a adição, a subtração, a multiplicação, a divisão ou potenciação, visando obter um resultado.

COEFICIENTE -　O fator constante de um monômio.　

COMPLEXO ZERO - É o número complexo (0+0i).　

CONJUGADO　- Na adição a + b, chama-se conjugado a adição a - b. Nos números complexos a + bi o seu conjugado será a - bi.

CONSTANTE　- Um valor que não muda.

 

LETRA D

DIFERENÇA -　O resultado de uma subtração.

DIFERENÇA DE NÚMEROS COMPLEXOS - A diferença entre os números complexos z = a + bi e w = c + di é o número complexo obtido pela soma entre z e (-w).

DIVISÃO -　Uma das quatro operações básicas da aritmética. Usada para saber o número de vezes que um número está contido em outro número.

DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS - A divisão entre os números complexos z = a + bi e w = c + di (w não nulo) é definida como o número complexo obtido pelo produto entre z e w^(-1).

DÍGITOS　- Símbolos usados para escrever números em representação decimal ou alguma outra base. Em notação decimal os dígitos usados são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Em notação binária são usados apenas dois dígitos 0 e 1.

 

LETRA E

EIXOS -　Quando se traça as coordenadas ou gráfico em 2 dimensões, usamos 2 eixos,　x na horizontal e　y na vertical.　

EIXO DOS X　- O eixo horizontal em um sistema cartesiano ortogonal. Local onde são marcadas as abscissas de qualquer ponto.

EIXO DOS Y　- O eixo vertical em um sistema cartesiano ortogonal. Nesse eixo são marcadas as ordenadas.

EQUAÇÃO　- Expressão algébrica indicada por uma igualdade, onde há valores desconhecidos expressos por letras (incógnitas).

EXPOENTE - Número, geralmente situado à direita e sobreposto a outro, que assinala o valor pelo qual uma quantidade é elevada.

 

LETRA F

FÓRMULA DE EULER - e^(ix) = cos x + i sen x.

 

LETRA G

GRÁFICO　- Um quadro que permite representar os dados.

 

LETRA I

INCÓGNITA - Valor procurado na solução de um problema.

INVERSO　- Contrário, invertido, oposto.

 

LETRA M

MATEMÁTICA　- Ciência que estuda números e formas.

MULTIPLICAÇÃO　-　Uma das quatro operações básicas da aritmética, que realiza o produto de dois ou mais termos denominados fatores. A multiplicação é uma adição repetida.

 

LETRA N

NÚMERO INTEIRO　- Números inteiros são os números naturais e seus opostos, reunidos ao zero.

NÚMERO IRRACIONAL　-　Um número que não pode ser escrito sob a forma da divisão de dois números inteiros.

NÚMERO MISTO　-　São números que misturam a escrita dos números naturais com a escrita de frações.

NÚMERO NATURAL -　Números naturais são aqueles provenientes dos processos de contagem na natureza. Existe discussão sobre o fato do 0 (zero) ser considerado um número natural uma vez que este foi criado pelos hindus para dar sentido à nulidade de algo. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

NÚMERO ORDINAL　- O ordinal de um número exprime sua posição em uma sequência, tal como primeiro, segundo, terceiro, vigésimo.

NÚMERO PAR -　Um número inteiro que é múltiplo de dois. Exemplos de tais números são: ..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ...

NÚMERO PRIMO　-　Um número inteiro maior do que 1, que não é divisível por qualquer outro número exceto por ele e por 1. Um número primo tem somente dois divisores naturais diferentes.

NÚMERO RACIONAL　- Um número que pode ser colocado sobre a forma de uma fração, sendo que o numerador e o denominador devem ser dois números inteiros e o denominador não pode ser zero (0).

NÚMERO REAL -　Todos os números que podem ser marcados em uma reta, a reta real. Compreende os inteiros, os fracionários (conjunto dos racionais) e ainda os irracionais.

NÚMEROS REGULARES　- Um número é dito regular se sua decomposição em fatores primos apresenta apenas potências de 2, 3 e 5.

NÚMEROS COMPLEXOS -　São números da forma a + bi onde a é a parte real e b o coeficiente da parte imaginária.

NÚMEROS NEGATIVOS　- Todos os números menores que zero.

NÚMEROS POSITIVOS　- Todos os números maiores que zero.

 

LETRA P

PAR ORDENADO -　Um conjunto de dois números usados para localizar um ponto no plano. O primeiro número indica a distância à origem　no eixo dos　x (abscissa) e o segundo a distância à origem segundo o eixo dos　y (ordenada).

PLANO -　Superfície onde existem duas e só duas dimensões. Pode ser definido por: 3 pontos não colineares (uma reta e ponto exterior a ela) por duas retas não sobrepostas.

PONTO -　Uma figura geométrica sem dimensão.

POTÊNCIA　- Produto de fatores iguais.

 

LETRA Q

QUADRANTE -　Uma região do plano cartesiano delimitada por duas semirretas. O plano cartesiano possui 4 quadrantes.

QUOCIENTE -　O resultado de uma divisão. Na divisão de 8 por 4 o quociente é 2.

 

LETRA S

SEGMENTO DE RETA　- Parte de uma reta limitada entre dois pontos.

SENO (Sen) -　Em um triângulo retângulo o　sen A(ângulo agudo) é quociente entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa.

LETRA T

TRIGONOMETRIA -　Ramo da matemática que estuda no triângulo as relações entre as medidas dos lados e amplitude dos ângulos.

LETRA U

UNIDADE IMAGINÁRIA – Representada por　i ou　j, é uma solução para situações que exigem raízes quadradas negativas.

LETRA V

VALOR ABSOLUTO -　O valor absoluto de um número real a, também chamado "módulo de　a", é denotado por |a| e definido como o máximo valor entre　a　e　-a.

VARIÁVEL -　A grandeza que pode ser mudada, ou melhor, cujo valor pode assumir diferentes grandezas.　

VETOR -　Segmento de reta orientado, usado para a representação de forças, acelerações etc. Nessa representação aparece a grandeza (expressa pelo comprimento do segmento), a direção (dada pela reta) e o sentido (dado pela seta).

 

LETRA Z

ZERO　- Representação do "nada". O mais recente dos algarismos. O ponto de separação dos números negativos e positivos na reta real.　

 

REFERÊNCIAS

Dicionário Matemático, Só Matemática. Acesso em http://www.somatematica.com.br/dicionarioMatematico/.

Ensino Médio: Números Complexos. Acesso em http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/ncomplex/ncomplex.htm.

Wikipédia: Números Complexos. Acesso em http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo.

 

Motivação - História dos Números Complexos

      O conceito de número complexo se desenvolveu gradativamente, como ocorreu com os demais tipos de números. Algumas equações de grau 2, como x² + 1 = 0 não haviam solução até o século XVI, pois para os matemáticos da época a raiz negativa não existia. Porém, não foi este o motivo pelo qual os números complexos surgiram.

 

      Ao passar dos anos, alguns matemáticos viram o mesmo problema para equações do 3º, onde que se percebeu que os números reais não eram suficientes para resolver este tipo de equação.

 

      CURIOSIDADE: Os números complexos surgiram na época do Renascimento, onde a Europa estava se recuperando da peste negra e tinha uma forte influência do Humanismo. A matemática grega não era compreendida, pois poucos sabiam ler grego e era um assunto complexo. Assim, os europeus acabaram seguindo para outros ramos e continuaram a difundir a Matemática.

 

LINHA DO TEMPO

 

 

      A história da matemática como metodologia de ensino leva para a sala de aula questões relativas às necessidades humanas que deram origem a conceitos matemáticos e às produções teóricas consequentes das abstrações e generalizações obtidas. O grande desafio para os professores de matemática que procuram fazer uso da história da matemática em sala de aula consiste na transformação das informações históricas obtidas por meio de pesquisas bibliográficas em atividades de ensino que propiciem aos alunos um encontro histórico com o conhecimento matemático e na elaboração de abordagens pedagógicas que favoreçam a reconstrução e assimilação dos conceitos envolvidos nestes conteúdos.

 

 REFERÊNCIAS: 

 

Vailati, J. S & Pacheco, E. R. " Usando a História a Matemática no Ensino Da Álgebra ". Disponível em http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/702-4.pdf. Último acesso em 16 ago. 2013.

 

Puhl, Cassiano S. "Matemática Complexa". Disponível em https://sites.google.com/site/matematicacomplexa/iniciodoprojeto/origem-dos-numeros-complexos. Último acesso em 16 ago. 2013.